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三峡大学2018年各博士研究生招生专业考试大纲

http://kaobo.b2cedu.com  2017-12-29  来源:本站原创  作者:佚名

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三峡大学2018年各博士研究生招生专业考试大纲

 

《数值分析》考试大纲

一、考试性质

数值分析考试科目是为招收我校工科专业博士研究生而设置的。它的评价标准是高等学校工科各专业优秀硕士毕业生能达到的水平,以保证被录取者具有较好的数值分析理论与应用基础。考试对象为参加全国博士研究生入学考试的准考考生。

二、考试内容和要求:

第一章 数值计算中的误差

考核内容:误差与有效数字、误差分析、误差分析的一些基本原则。

考核要求:

1.了解误差来源以及舍入误差、截断误差的定义。

2.掌握绝对误差、相对误差、误差限和有效数字的定义及相互关系。

3.掌握函数计算的误差估计,理解误差分析的一些基本原则和数值稳定性概念。

第二章 解线性代数方程组的数值解法

考核内容:(1)用直接方法求线性方程组的解,它包括Gauss消元法和直接三角分解法;(2)用迭代法求解线性方程组。

考核要求:

1.理解Gauss消元法原理及实现条件,掌握用Gauss消元法和列主元Gauss消元法求解方程组的算法。

2.用直接三角分解法解A=b

(1)掌握用Doolittle分解法求方程组A=b的解,能直接用矩阵乘法进行的分解。

(2)为三对角阵时掌握追赶法计算公式。

(3)为对称正定时掌握用Cholesky分解法(即平方根法)解方程组。

3.掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。

4.掌握矩阵条件数定义,并能应用条件数估计解方程组直接法的误差。

5.迭代法及其收敛性

(1)理解向量序列及矩阵序列极限。

(2)掌握迭代法的构造和迭代法收敛的充分必要条件判断具体迭代法是否收敛。

(3)掌握用迭代矩阵范数判别迭代法收敛的充分条件及其证明。

6.Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代和SOR迭代法

(1)掌握每种方法的计算公式、矩阵表示式以及迭代矩阵表达式;对给定方程组A=b能写出三种迭代法的计算公式及迭代矩阵,并能算出正确结果。

(2)熟练掌握各种迭代法收敛的充分必要条件及充分条件。对给定方程组判别Jacobi迭代法及Gauss-Seidel迭代法是否收敛。

(3)当严格对角占优和对称正定时掌握Jacobi迭代法及Gauss-Seidel迭代法的收敛性结论。

(4)掌握SOR迭代法收敛性条件。

第三章 非线性方程求根

考核内容:非线性方程求根的二分法、迭代法的一般理论、Newton迭代法。

考核要求:

1.了解如何确定方程的有根区间及用二分法求一个足够好的近似根。

2.熟练掌握不动点迭代法及其收敛性定理,能灵活应用不动点迭代法求方程的根,并判断迭代序列的收敛性。

3.掌握收敛阶的定义,能确定迭代法的收敛阶。掌握加速法的原理及算法。

4.熟练掌握Newton法与割线法求根及其局部收敛性与收敛阶定理。掌握Newton下山法,了解如何用Newton法求复根。

第四章 插值法

考核内容:拉格朗日(Lagrange)插值、牛顿(Newton)插值公式、Hermite (埃尔米特)插值、分段低次插值与样条插值。

考核要求:

1.掌握插值多项式的存在唯一性条件,并由此条件求插值多项式,并计算函数近似值及估计误差。

(1)熟练掌握Lagrange插值多项式及其余项表达式,掌握插值基函数及其性质。

(2)熟练掌握Newton均差插值多项式及均差定义,并能用均差表求Newton插值多项式。

(3)掌握等距节点的Newton前插与后插差分公式,利用差分定义及差分表构造Newton差分插值多项式并计算函数近似值。

2.掌握带导数的Hermite插值多项式的构造及其余项表达式。

3.分段低次插值与三次样条插值

(1)理解高次多项式插值不具有收敛性和稳定性的缺陷,掌握分段线性插值公式及其收敛性和分段二点三次Hermite插值。

(2)熟练掌握三次样条函数及三次样条插值多项式的条件(M-表达式和m-表达式不用背)。

第五章 曲线拟合、函数逼近

考核内容:曲线拟合的最小二乘法,超定方程组的最小二乘解。

考核要求:

1.掌握最小二乘原理作曲线拟合的方法及计算步骤,能正确算出线性模型及能转化为线性模型的最小二乘拟合曲线。

2.掌握求解超定方程组的最小二乘解。

3. 理解函数逼近、内积空间与正交多项式基本概念,掌握正交多项式的基本性质;
   4. 掌握Chebshov正交多项式及其基本性质;
   5. 掌握函数的最佳平方逼近逼近。

第六章 数值积分与数值微分

考核内容:数值求积与 Newton-Cotes (牛顿—柯特斯)求积公式。复合求积公式、Gauss型求积公式、Gauss型求积公式的稳定性与收敛性。

考核要求:

1.熟练掌握求积公式代数精确度的定义,能应用定义确定求积公式的系数和节点,并能判断一个求积公式的代数精确度。

2.理解插值求积公式原理和Newton-Cotes求积公式,掌握梯形公式和Simpson公式及其余项的表达式和代数精确度。

3.熟练掌握复合梯形公式和复合Simpson公式,能应用这些求积公式计算积分近似值并估计误差,还能根据误差要求确定求积分时积分区间的等分数。

4.了解Romberg求积方法。

5.理解Gauss型求积公式原理并能根据代数精确度推导两个节点的Gauss型求积公式。掌握Gauss-Legendre求积公式和Gauss-Chebyshe求积公式,并能用这些公式计算积分近似值并估计误差。

6.了解数值微分的插值型求导公式。

第七章 常微分方程数值解法

考核内容:简单的单步法及基本概念、显式Runge-Kutta法、线性多步法、预测校正方法。

考核要求:

1.熟练掌握Euler法、隐式Euler法、梯形法、改进Euler法的基本公式与构造,并能正确应用这些公式求微分方程数值解。

2.理解显式Runge-Kutta法(简称R-K法)的基本思想,掌握二阶Runge-Kutta法的推导,能应用二阶Runge-Kutta法及经典四阶R—K法求微分方程数值解,并能利用改变步长的方法估计误差。

3.单步法基本概念

(1)掌握单步法局部截断误差及阶的定义。

(2)掌握单步法收敛性定义及方法收敛性的结论。

(3)掌握单步法绝对稳定性和绝对稳定域的定义。能推导Euler法、隐式Euler法、梯形法和改进Euler法的绝对稳定域,了解显式R-K法的绝对稳定区间并能由此掌握它对步长h的限制。

4.线性多步法

(1)掌握线性多步法的一般表达式及局部截断误差和阶的定义,能熟练应用Taylor展开推导线性多步法公式及局部截断误差主项和确定公式的阶。

(2)能正确应用线性多步法公式,特别是四阶显式和隐式Adams公式求解微分方程。

(3)掌握预测校正技术,能应用四阶显式Adams公式预测、四阶隐式Adams公式校正等方法求微分方程数值解。

5.了解微分方程组的数值解法。

第八章 矩阵的特征值及特征向量的计算

考核内容:按模最大与最小特征值的求法、以及计算实对称矩阵特征值的雅可比法。

考核要求:

1.掌握计算矩阵特征值的迭代方法——幂法、反幂法。

2.掌握求一个实对称矩阵的全部特征值和特征向量的雅可比法。

3.了解求实矩阵的全部特征值的QR方法。

三、考试形式

(一) 答卷方式:闭卷,笔试;

(二) 答题时间:180分钟;

《数理统计》考试大纲

一、考试性质

数理统计是为博士研究生入学考试考生设置的专业基础课程考试科目,属招生学校自行命题性质。它的评价标准是高等学校优秀硕士研究生能达到的及格或及格以上水平,以保证被录取者具有坚实的数理统计基本理论知识和较好的分析实际数理统计问题的能力,有利于招生学校在专业上录取。

考试对象为参加2014年全国博士研究生入学考试的应届硕士毕业生或具有同等学历的在职人员。

二、考试的学科范围

1.数理统计的基础知识。

理解数理统计中的基本概念,掌握常用统计分布及抽样分布,并能熟练进行运算。了解经验分布函数和直方图。

2.参数估计

理解点估计和区间估计的意义,熟练掌握点估计的方法及点估计量的评选标准,其中包括无偏性、有效性、相合性及参数的区间估计,了解顺序统计量估计参数法及非正态总体参数的区间估计。

3.假设检验

理解假设检验的基本概念;掌握假设检验的基本思想及犯第一类和第二类错误的概率,单个、两个正态总体参数的假设检验。理解非参数假设检验的思想,并会用皮尔逊即拟合检验法解决实际问题。了解非正态总体参数的假设检验。

4.回归分析

理解一元及多元线性回归分析的概念,熟练掌握其线性模型及未知参数的估计、回归效果的显著性检验。了解其预测及控制。

5.方差分析

理解方差分析的意义,熟练掌握单因素试验及双因素无交互作用的方差分析的数学模型,并能够进行熟练运算。了解双因素有交互作用的方差分析。

三、评价目标

数理统计考试的目标在于考查考生对数理统计的基本概念、基本理论和方法的掌握以及分析和求解较为复杂的数理统计问题的能力。考生应能:

1.正确理解数理统计中的基本概念和基本理论。

2.掌握数理统计中的基本原理和方法及计算公式,并能正确地解释计算结果。

3.正确应用数理统计的基本理论知识分析和解决较为复杂的实际问题。

四、考试形式与试卷结构

答卷方式:闭卷,笔试;试卷中的所有题目全部为必答题;

答题时间:180分钟;

试卷分数:满分为100分;

试卷结构及考查比例:试卷主要分为三部分,即:基本理论和方法题40%,分析与应用题60%。

《数学物理方程》考试大纲

一、绪论

1.理解和掌握偏微分方程的基本概念;

2.掌握三类典型方程(波动方程,热传导方程,位势方程)的导出;

3.理解偏微分方程定解问题的提法和适定性问题;

4.了解线性定解问题的叠加原理和应用;

5.理解和掌握二阶线性偏微分方程的分类和及两个变量的二阶线性偏微分方程的化简。

二、波动方程的初值问题与行波法

1.理解和掌握一维波动方程的初值问题解的D’Alembert公式,了解其物理意义;

2.理解和掌握三维波动方程的初值问题解的Poisson公式,了解其物理意义;

3.理解二维波动方程的初值问题和降维法;

4.了解依赖区域、决定区域、影响区域和特征维,并理解造成二维和三维波传播的本质差异的原因。

三、分离变量法

1.熟练掌握分离变量法求解数学物理方程定解问题的步骤;

2. 会用分离变量法求解一维齐次波动方程和热传导方程以及二维拉普拉斯方程带有齐次边界条件的定解问题;

3.理解和掌握非齐次方程的定解问题;

4.理解和掌握非齐次边界条件的处理;  

5.了解Sturm-Loiuville问题。

四、调和方程与格林(Green)函数法

1.理解Laplace方程定解问题的提法;

2.理解和掌握Green公式和应用;

3.理解Green函数的性质;

4.理解和掌握一些特殊区域上的Green函数和Dirichlet问题的解法。

五、积分变换法

1.理解傅里叶积分和傅里叶变换,掌握一些基本函数的傅里叶变换;

2.理解和掌握傅里叶变换的性质;

3.理解和掌握运用傅里叶变换来求解定解问题;

4.理解拉普拉斯变换与性质;

5.理解和掌握运用拉普拉斯变换求解定解问题。

六、极值原理和应用

1.理解和掌握热传导方程的极值原理,能够应用热传导方程的极值原理来证明定解问题解的适定性;

2.理解和掌握拉普拉斯方程的极值原理,能够应用拉普拉斯方程的极值原理来证明定解问题解的适定性;

七、能量积分方法和应用

1.理解和掌握热传导方程和调和方程中的能量方法;

2.理解和掌握双曲方程中的能量方法;

3. 运用能量方法探讨初值问题解的唯一性和稳定性。

有关说明与实施要求;

1、考试目标的能力层次的表述  

本课程对各考核点的能力要求一般分为三个层次用相关词语描述:

较低要求——了解;

一般要求——理解、熟悉、会;

较高要求——掌握、应用。

一般来说,对概念、原理、理论知识等,可用“了解”、“理解”、“掌握”等词表述;对计算方法、应用方面,可用“会”、“应用”、“掌握”等词。

2、命题考试的若干规定

(1)本课程的命题考试是根据本大纲规定的考试内容来确定的,根据本大纲规定的各种比例(每种比例规定可有3分以内的浮动幅度,来组配试卷,适当掌握试题的内容、覆盖面、能力层次和难易度)。

(2)各章考题所占分数大致如下:

第一章 15% 第二章 30% 第三章 15% 第四章 25% 第五章 15%

(3)其难易度分为易、较易、较难、难四级,每份试卷中四种难易度,试题分数比例一般为2:3:3:2。

(4)试卷中对不同能力层次要求的试题所占的比例大致是:“了解(知识”占15%,“理解(熟悉、能、会)”占40%,“掌握(应用)”占45%。

(5)试题主要题型为解答题和证明题两种题型。

(6)考试方式为闭卷笔试。考试时间为180分钟,试题主要测验考生对本学科的基础理论、基本知识和基本技能掌握的程度,以及运用所学理论分析、解决问题的能力。试题要有一定的区分度,难易程度要适当。一般应使本学科、专业本科毕业的优秀考生能取得及格以上成绩。


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